数学虚数的定义及概念(虚数和实数)

数学虚数的定义及概念(虚数和实数)撰文/周向宇在高中的数学课本中会出现一个非常奇妙的数——“虚数”。为什么说虚数奇妙呢?因为,不管是正数还是负数,平方(自己与自己相乘

撰文/周向宇

在高中的数学课本中会出现一个非常奇妙的数——“虚数”。为什么说虚数奇妙呢?因为,不管是正数还是负数,平方(自己与自己相乘)之后一定会得到正数。但虚数的平方却是负数。这样的数,好像在日常生活中并不存在吧。那么,为什么要学虚数呢?那是因为在数学里,虚数具有极其重要的作用。实际上,如果没有虚数,数的世界就会变得不完整。另外,对于探明微观世界的“量子力学”来说,虚数也是不可或缺的。

虚数不虚:从虚幻到实用

既然虚数不存在,为什么还要学它呢?

人们研究虚数的动力来自一元三次方程的根式求解。中学都学过一元二次方程的根式求解,其中最关键的方法就是配方法。如果遇到x2+1=0的情形,人们会认为该方程无解,不予深究和讨论。当人们掌握了一元二次方程的根式求解方法后,自然想知道三次、四次方程是否也能进行根式求解。

在16世纪,数学家们开始探讨这个问题,并找到了一种方法将三次方程的求解化为二次方程的求解。比如,遇到x3=15x+4这种三次方程,就可以将求解问题转化为“两个数的和等于4,乘积等于125”这样的二次方程的求解问题。显然,由于该二次方程的判别式小于0,故在实数域中无解。但是,这个三次方程显然有一个实数解,即x=4。于是,这种矛盾的存在就促使人们引进了虚数及其四则运算,通过对转化的二次方程引入虚数解而得到三次方程的实数解。

虚数引进后,在数学界引起不小的争议。一些著名数学家,如笛卡尔、牛顿、纳皮尔(对数的引进者)等不承认虚数。比如,笛卡尔认为这种数是“想象中的数”,因此将其命名为imaginaire,但也有数学家如棣莫弗、欧拉等开始积极使用虚数,并建立了棣莫弗公式和欧拉公式,从而将三角函数和指数函数联系在一起。目前普遍使用的纯虚数单位i就是由欧拉引入的。

但“虚数是否具有实际的意义”这个问题仍困惑着当时的数学界。直到数学家发现虚数的几何与向量解释,特别是数学家高斯,将这类数命名为复数,提出了复平面的概念,给出了复数在现实世界中的可视化表示,从而结束了这场争议。正如实数对应于一条直线上的点(实轴),复数对应的是平面中的点(复平面)。复数有大小有方向,与力、速度、加速度等物理量的向量特征吻合,这为复数在实际中的应用埋下了天然伏笔。

既然虚数不存在,为什么还要学它呢?

复数具有同实数相同的四则代数运算及运算规律。但与实数不同的是,复数对开方运算也是封闭的(代数闭域)。复数域上n次多项式方程恰有n个根,这被称为“代数基本定理”。复数有丰富的代数、几何、度量、拓扑结构,复数间的映射还可以探讨连续、光滑、解析等分析结构。结合微积分,人们在19世纪建立了神奇美妙的复变函数论。20世纪,又产生了多复变函数论与复几何这些现代数学的核心领域课题。

复数的引入,不但对数学本身的发展有着极其重要的意义,而且对科学、技术、工程的发展也起到了非常重要的作用。高斯、库默尔利用复数研究平方和问题与费马大定理。黎曼利用复变函数研究素数分布问题。虽然这些数论问题看起来与复数毫无关系,但却都能利用复数探索解决的方法。仅在苏联出版的《复变函数论方法》一书中,就列举了复变函数论在流体力学、气体动力学、弹性理论、电磁学、电工学、电路计算、机翼设计、地下水、堤坝设计等科学与工程问题中的重要应用。而复分析与复几何则能帮助我们从更基础的层面认知自然世界及时空的概念。

从“虚幻”到“实用”,“虚数”其实不虚,由此而来的复数与复变函数更是具有神奇的作用。复变函数已成为大学理工科的必修科目。虚数本是为构建科学知识体系而引入的,引入时既无实际应用背景,也无实际应用需求。但现在看来,没有虚数,现代数学知识体系将严重残缺不全。

我们应重视“无用之用”的科学研究。庄子曰:“人皆知有用之用, 而莫知无用之用也”。复数的研究正是“无用之用”的研究。古人说的“探赜索隐,钩深致远”和“格物致知”道出了科学研究的真谛。科学研究正是从已知探索未知以求新知,构建科学知识体系。正如徐光启所说“无用之用,众用之基”,“无用之用”的科学研究,正是通过所构建的科学知识体系,而成为许多实用技术的基础与源头,不断造福人类。

作者简介

周向宇,1985年毕业于湘潭大学数学系,1988年、1990年先后获中国科学院数学研究所硕士、博士学位。1998年于俄罗斯科学院Steklov数学所获俄国科学博士学位。2013年当选中国科学院院士,2018年当选发展中国家科学院院士。主要从事多复变与复几何的研究,曾获中国科学院自然科学奖一等奖、陈省身数学奖、国家自然科学二等奖、陈嘉庚科学奖。

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