素数是什么意思

皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家。他在数学上的成就丝毫不比当时的职业数学家差。他似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。而

科普(1):什么是费马素数?费马素数是否存在无穷多个?

皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家。他在数学上的成就丝毫不比当时的职业数学家差。他似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。

而费马最著名的定理,莫过于费马大定理。很多人也是因为费马大定理,而知道了费马这个人的名字。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理,西方数学界原名“最后”的意思是:其它猜想都证实了,这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔(E. T. Bell)在20世纪初所撰写的著作中,称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信,费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马一没事就喜欢看看数学著作,在书上写一些自己的见解和推论(还不带证明的过程);费马偶尔还会向那些职业人士挑战,弄得职业选手常常很没面子。费马专注于一些著名的传奇数学书籍,比如:欧几里得的《几何原本》,丢番图的《算术》等等,其中偶尔得到的费马大定理以及那句''我已发现了这个定理的绝妙证法,可惜这里页面的空白地方太小,写不下。''更是世人皆知的经典。

大约1640年,费马像往常一样,没事用笔勾勾圈圈,无意发现这样的一个式子:

科普(1):什么是费马素数?费马素数是否存在无穷多个?

费马素数Fn:其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数,可以得到 n 必须是2的幂。

科普(1):什么是费马素数?费马素数是否存在无穷多个?

费马求出了当n=0,1,2,3,4时的值,并且全部都是素数,所以费马当时就猜测当n=5是,F5也会是素数,不过费马并没有给出n=5时的值。

时间一晃就到了1729年。哥德巴赫给欧拉的一封信里提到了关于费马数的猜想,并且寻求欧拉的帮助,不论是证明,还是推翻。时年,欧拉22岁。这个问题迅速吸引了欧拉的注意,欧拉着手开始对F5的情况开始研究。

科普(1):什么是费马素数?费马素数是否存在无穷多个?

1732年,欧拉发布了研究成果,证实了F5是个合数,于是费马数猜想被否定。宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式。也就是说,已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

看到很多资料上说,当年欧拉为了解决验证这个问题,在2年时间里用去了所有的周末才得到这个分解了F5。这在我看来根本是无稽之谈。因为这个大数的一个因子仅仅才641,并没有多大,哪怕一个笨人拿着素数表一个一个算也不用两年吧。要知道欧拉可是在双目失明的情况下,用心算就可以证明梅森数M(31)=231-1=2147483647是素数的大师。后面才知道,欧拉在这2年的周末里对费马数做了大量的研究,不仅仅是验证了F5,他发现了费马数的一系列性质:

如果费马数是一个合数,那么F(n)必定有一个因子是2n+2×k+1。

1801年高斯证明了,一个正多边型多边形可以用尺柜作图的充分条件是:边数n是2的幂次与若干费马素数的乘积。高斯也认为这是必要条件,但他没给出证明,Pierre Wantzel证明了必要性,所以它现在被称为“高斯-Wanzel定理”。

令人尴尬的是,其实到目前为止,人们动用超级计算机,自F(5)之后就没有发现任何一个素数,全部是合数!

到目前为止,只知道以上五个费马数是素数。此外,还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类:

①当n=5,6,7时,得到了Fn的标准分解式;

②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55,58,63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时,只知道Fn的部分素因数;

③当n=14时,只知道F14是复合数,但是它们的任何真因数都不知道。

因此,在费马数列中是否有无穷多个素数,或者是否有无穷多个复合数,都是未解决的问题。

自从费马猜想被否定后,有人猜想费马数列中只有有限个素数,这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想:费马数无平方因子。所以,是否还存在了F0到F4外的费马素数?费马素数是否存在无穷多个?这一点到现在都还没有人知道。也许在不就的将来,会有人能证明。

特别鸣谢:本文的部分信息是从以下的网站上找到的:

https://byte.baike.com/cwiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC&fr=toutiao

https://byte.baike.com/cwiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E8%B4%A8%E6%95%B0&fr=toutiao?isPreloadWebView=1

https://blog.csdn.net/qq_33737036/article/details/78238476

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